Coin MATHÉMATIQUES

Pixelax a écrit:Honnêtement, y a vraiment rien de difficile pour le coup. Si on note x et y les deux nombres à multiplier, alors avec cette méthode on obtient 10(x - 5 + y - 5) + (10 - x)(10 - y). On explose tout, et on trouve xy. (ça fait un bon exercice de 4ème quoi )

Oui bon, c'est effectivement la bonne réponse ^^
J'avoue qu'à l'instar du 1089, j'avais trouvé cette astuce "magique" car elle n'est pourtant pas spécialement intuitive à mon sens, et il m'a fallu une petite démonstration pour en être convaincu. Mais je te l'accorde, là où il m'a fallu une heure pour le 1089, ici ça ne m'a pris que cinq minutes.

Et encore, je ne vous ai pas fait l'insulte de demander l'explication d'une astuce " " "magique" " " (dixit le site sur laquelle je l'avais vue) qui expliquait comment diviser un nombre par cinq facilement : il suffit de multiplier le nombre en question par deux puis ajouter une virgule devant le dernier chiffre. Mais comment est-ce possible ?

Pixelax a écrit:Il y a toujours le problème sur Hold-Up en attente sinon

Euh... coming soon avec le problème du Casino ^^'
(les probas c'est vraiment pas ma tasse de thé )

Pixelax a écrit:Il y a toujours le problème sur Hold-Up en attente sinon

Allez, je me lance un peu, après avoir vu une partie du jeu hier.

Si le candidat fait un sans-faute, alors il peut sélectionner 10 coffres parmi les 20 proposés. Il a donc (²⁰₁₀) choix possibles. (Désolé pour le rendu du coeff binomial, on n'a pas LaTeX dans le coin ).

Pour prétendre aux 100 000 €, il faut qu'il ait choisi:
- le coffre "X2";
- le coffre "20000";
- le coffre "10000";
- les deux coffres "5000";
- les deux coffres "2500";
- les deux coffres "2000";
- un coffre "1000" parmi les deux disponibles.
Résultat, seules 2 combinaisons satisfont aux critères. La probabilité qu'il ait sélectionné les bons coffres est de 2 / (²⁰₁₀). (Et j'ai la flemme de calculer cela )

Mais pour effectivement gagner les 100 000 euros, il faut ouvrir les coffres dans le bon ordre, c'est-à-dire, ouvrir le coffre "X2" en dernier. Il y a autant de façons d'ouvrir les coffres que de permutations dans S_10, soit 10! . Parmi ces façons, seules celles garantissant le "X2" à la fin peuvent être prises: en terme de permutations, il ne faut sélectionner que celles qui disent "Le dernier coffre à ouvrir est celui contenant "X2"." Le nombre de telles permutations est (sauf erreur) égal au nombre de permutations de S_9, soit 9! . Conclusion, si j'ai les bons coffres, la probabilité que je gagne les 100 000 euros est 9! / 10! = 1/10. (Je suis en train de penser qu'il y avait sans doute plus simple pour déterminer cela, mais bon ^^)

Concluons. On a 2 / (²⁰₁₀) de proba d'avoir les bons coffres, et 1/10 de proba de les ouvrir dans le bon ordre. La proba de gagner les 100000 euros est de 1/ (5 * (²⁰₁₀)). C'est... pas beaucoup

Restent tes questions b et c... j'y vois de la loi binomiale derrière

garsim a écrit:il m'a fallu une heure pour le 1089

Ah ouais quand même ! Comme quoi il n'y a pas besoin d'outils mathématiques complexes pour s'occuper ^^

bibi6 a écrit:(Désolé pour le rendu du coeff binomial, on n'a pas LaTeX dans le coin ).

Il y a moyen quand même. Je remets ici ce que j'avais dit à ce sujet dans Mathématiques Boyardesques :

Pixelax a écrit:À ma connaissance, il n'y a pas de compilateur TeX intégré au forum. Du coup, si tu veux taper des jolies formules, il vaut mieux passer par un site annexe qui convertit du LaTeX en image .png (je ne peux pas faire de pub, mais vous trouverez bien tout seul ^^).
Il faudra modifier un petit peu la syntaxe pour rendre tout ça compatible :

Code:

\sum_{k=3}^{30} \frac{\dbinom{k}{2}k}{28}

ce qui donne :

Personnellement, j'utilise une résolution de 130.

bibi6 a écrit:Conclusion, si j'ai les bons coffres, la probabilité que je gagne les 100 000 euros est 9! / 10! = 1/10. (Je suis en train de penser qu'il y avait sans doute plus simple pour déterminer cela, mais bon ^^)

Oui en effet, il suffisait de choisir sur tes 10 coffres lequel tu ouvrais en dernier ^^

bibi6 a écrit:On a 2 / (²⁰₁₀) de proba d'avoir les bons coffres, et 1/10 de proba de les ouvrir dans le bon ordre. La proba de gagner les 100000 euros est de 1/ (5 * (²⁰₁₀)). C'est... pas beaucoup

Oui, c'est une bonne réponse !

Je n'avais pas fait exactement le même raisonnement pour le coup :

Pixelax a écrit:D'abord, le candidat choisit les 9 premières boîtes. C'est toujours la même chose pour la proba : nombre d'issues favorables sur nombre d'issues total. Le plus simple ici est - encore une fois - d'utiliser des coefficients binomiaux...
Et ensuite, sur les 11 dernières boîtes il doit choisir la bonne qui multiplie ses gains par deux.

Si on décompose comme ça, on trouve :

C'est bien la même chose que ce que tu as trouvé, rassurez-vous. ^^ Ça correspond à une chance sur 923 780, ou encore à une proba d’environ 1,1·10^-6. En effet, c'est pas beaucoup (ça vous étonne ? ).

bibi6 a écrit:Restent tes questions b et c... j'y vois de la loi binomiale derrière

Moui éventuellement, mais il n'y a pas besoin comme on exige de faire un sans-faute. Le coefficient binomial qui apparaîtrait vaudrait 1.

Oui, exact ^^

Je laisse toute personne motivée pour les 80% de chances... (@GARSIM!!!! Parfois il vient de là... )

... sinon, avec 50% de chances de succès aux questions, il y a 1024 chances de moins de décrocher le jackpot. Et une chance sur un milliard, ça fait pas beaucoup!

Sinon, ce midi, il y avait quelqu'un qui présentait un livre "10 ingrédients, 100 recettes". Pas mal, mais combien de recettes peut-on faire avec 2 ingrédients différents parmi les 10? (Entre nous 3, la réponse va fuser!)

Bon, je me lance  

Si je me souviens bien de mes notions de factorielles, on a ici un choix de 2 ingrédients (r) parmi 10 (n) où l'on doit éliminer les cas redondants, donc n!/((n-r)!*r!) = 10!/((10-2)!*2!) = 45. Pardon du formatage pourri, il faudra s'en contenter vu que je n'ai pas envie de me casser la tête à rendre ça plus clair.

Pour des explications plus claires, on a 10 choix pour le premier ingrédient et 9 pour le suivant, donc 90 recettes possibles. Mais vu que AB est la même recette que BA, on élimine les recettes redondantes en divisant 90 par le nombre de permutations possibles pour chaque recette, ici 2.

J'ai bon?

bibi6 a écrit:avec 50% de chances de succès aux questions, il y a 1024 chances de moins de décrocher le jackpot. Et une chance sur un milliard, ça fait pas beaucoup!

Mmh, je comprends ce que tu veux dire mais c'est bizarre forumlé comme ça. On n'a pas 1024 chances de moins de décrocher le jackpot (en fait ça ne veut pas dire grand chose ^^), c'est juste qu'on n'a qu'1 chance sur 1024 de se placer dans le cas de la question a). Du coup la proba recherchée sera le produit des deux (probas conditionnelles), soit environ 1 chance sur 946 millions.

bibi6 a écrit:Sinon, ce midi, il y avait quelqu'un qui présentait un livre "10 ingrédients, 100 recettes". Pas mal, mais combien de recettes peut-on faire avec 2 ingrédients différents parmi les 10? (Entre nous 3, la réponse va fuser!)

Déjà je ne comprends pas l'énoncé

rhyolite a écrit:Si je me souviens bien de mes notions de factorielles, on a ici un choix de 2 ingrédients (r) parmi 10 (n) où l'on doit éliminer les cas redondants, donc n!/((n-r)!*r!) = 10!/((10-2)!*2!) = 45. Pardon du formatage pourri, il faudra s'en contenter vu que je n'ai pas envie de me casser la tête à rendre ça plus clair.

Oui, c'est juste le coefficient binomial qui te donne le nombre de manière de choisir deux ingrédients parmi les 10. Mais je ne suis pas sûr que ce soit ça qui soit attendu ^^

@bibi6 : Finalement qu'en est-il de ton problème de recettes ?


Tout autre chose, en provenance de L'équipe du jour :

maximax a écrit:

Pixelax a écrit:

garsim a écrit: le bonus de Lumineuse était mérité (davantage que s'ils avaient eu une chance sur trois, voire sur six, de trouver la bonne).

Il me semble que si une équipe n'avait obtenu aucune des deux couleurs elle ne pouvait pas proposer au hasard [...]. Et quand bien même elle aurait pu, la proba de réussir n'était pas d'une chance sur six

Rouge + Rouge = Rouge
Rouge + Bleu = Violet
Rouge + Jaune = Orange
Bleu + Bleu = Bleu
Bleu + Jaune = Vert
Jaune + Jaune = Jaune

Tu vois d'autres possibilités ?

Bah oui, si tu mélanges les trois ça fait noir.
Non non je te rassure, je ne vois que ces six couleurs possibles aussi. Mais je persiste, la proba de trouver la couleur du jour par hasard (sans aucune info) n'était pas de 1/6...
Pourquoi ?

Ben parce que les candidats n'avaient pas le droit de proposer une couleur s'ils n'avaient pas réussi les épreuves en question donc le problème ne se posait pas, la proba était forcément de zéro  

Ah, je vois ce que tu veux dire.
Comme Lumineuse ne choisit pas les deux couleurs simultanément, il faut sans doute d'abord prendre en compte les possibilités pour la première couleur, puis ensuite composer avec la seconde ?
Ce qui ferait qu'on ne devrait pas raisonner de cette manière-là :

Rouge + Rouge
Rouge + Bleu
Rouge + Jaune
Bleu + Bleu
Bleu + Jaune
Jaune + Jaune

Mais plutôt comme ça ?

Rouge + Rouge
Rouge + Bleu
Rouge + Jaune
Bleu + Rouge
Bleu + Bleu
Bleu + Jaune
Jaune + Rouge
Jaune + Bleu
Jaune + Jaune

Soit une proba de 1/9 pour les couleurs primaires et de 2/9 pour les couleurs secondaires ?

Personnellement, c'est la seule possibilité mathématique que je vois pour expliquer que la proba ne soit pas 1/6.

Sinon, il y a aussi le fait que les candidats ne penseront pas intuitivement à mélanger deux fois la même couleur et auront instinctivement tendance à en proposer une secondaire, mais là c'est plus des maths, mais de la psychologie...

garsim a écrit:Soit une proba de 1/9 pour les couleurs primaires et de 2/9 pour les couleurs secondaires ?

En effet, bonne réponse !

Ici le plus pratique c'est un tableau à double entrée :

garsim a écrit:Comme Lumineuse ne choisit pas les deux couleurs simultanément, il faut sans doute d'abord prendre en compte les possibilités pour la première couleur, puis ensuite composer avec la seconde ?

Le fait qu'elle les choisisse simultanément ne change rien en fait, ce qui compte c'est que ses deux choix sont indépendants, et qu'à chaque fois les 3 couleurs sont équiprobables.

Finalement, c'est exactement la même méthode que pour déterminer la loi de proba du nombre qu'on obtient en lançant 2 dés (pourtant on les lance en même temps ^^). Il y a 11 issues possibles, mais elles ne sont pas équiprobables. On a 6 fois plus de chances de faire 7 que de faire 2.

Ca me rappelle un petit paradoxe de probabilités ça... ^^ bon, il est peut-être déjà connu, mais comme ça reste dans le thème, je le remets

Prenons les deux énoncés de problèmes suivants :

Monsieur et Madame Vigote ont deux enfants dont une fille. Quelle est la probabilité qu'ils aient un garçon ?

Monsieur et Madame Vigote ont deux enfants dont une fille qui s'appelle Sarah. Quelle est la probabilité qu'ils aient un garçon ?

A priori, ils ne semblent pas très différents. Et pourtant, étrangement, les probabilités ne sont pas les mêmes dans les deux cas ! Il est où, le piège ?

Question 1: sans autre information supplémentaire, se fiant uniquement au texte, je dirais 1.

Question 2: sans aucune hésitation, je dis 1/2.

Mais il est où, le piège?

Et sinon, pour les recettes, je n'attendais rien d'autre que le coefficient binomial en effet ^^

Pour la question 1, si je ne dis pas de bêtises, la probabilité est de 2/3.

On a 2 enfants, chacun ayant 50% de chance d'être fille et 50% de chance d'être garçon (on exclut les intersexués et le fait que le pourcentage de distribution des sexes à la naissance ne soit pas exactement de 50/50), ce qui donne les 4 cas suivants:

FF, FG, GF, GG

Le dernier cas ne peut pas convenir vu qu'il n'y a aucune fille. On sait que l'un des enfants est une fille, mais l'énoncé ne précise pas lequel, donc chacun des trois cas précédents est valable, d'où 2 chances sur 3 que l'autre enfant soit un garçon.

Pour la question 2, la probabilité est de 1/2, comme dit par bibi6 plus haut.

Ici, on sait quel enfant est la fille, donc on se retrouve dans le cas suivant: Sarah + un autre enfant, ce dernier ayant 50% de chances d'être un garçon. On aurait pu formuler le problème autrement, en précisant si l'aîné était une fille ou un garçon, etc. et conserver la même probabilité de 50%, tant qu'on précise lequel des enfants est concerné par une caractéristique permettant de l'identifier.

CQFD

Sinon, l'humoriste en moi peut se contenter de dire que la probabilité est de 0 dans les 2 cas, vu que je n'ai trouvé aucun prénom masculin qui permet de faire un jeu de mot avec le nom des parents

bibi6 a écrit:Question 1: sans autre information supplémentaire, se fiant uniquement au texte, je dirais 1.

Euh... non, ils peuvent très bien avoir deux filles, donc on ne peut pas affirmer avec certitude au vu des données du problème (quand je dis "une fille", c'est sous-entendu "au moins une", et pas strictement une seule ) qu'ils ont un garçon.

En revanche, je valide la réponse à la seconde question

@rhyolite : bonne réponse !

rhyolite a écrit:Sinon, l'humoriste en moi peut se contenter de dire que la probabilité est de 0 dans les 2 cas, vu que je n'ai trouvé aucun prénom masculin qui permet de faire un jeu de mot avec le nom des parents

Oui, bon, désolé pour la blague "M. et Mme" sous-jacente, j'avais juste envie de faire un clin d'oeil à une autre facette de ma vie numérique.

---

Au fait, je repensais un peu au problème de Lumineuse.
On a démontré qu'en fait, les différentes couleurs du jour ne pouvaient pas être équiprobables.
En revanche, supposons qu'on passe outre la mise en scène dans laquelle on voit Lumineuse mélanger les couleurs ; dans l'hypothèse où c'est Lumineuse elle-même qui décidait de la couleur du jour, puis en déduisait les deux couleurs nécessaires à son obtention, les issues seraient tout de même équiprobables non ?

garsim a écrit:En revanche, je valide la réponse à la seconde question

Ben pas moi !

La réponse doit nécessairement dépendre que la probabilité p qu'une fille s'appelle Sarah. Comme elle est extrêmement faible, on trouve environ 1/2 en effet, mais pas exactement.
Un moyen de vérifier votre calcul : si vous prenez p = 1, vous êtes censés retrouver le 2/3 de la première question. En effet, si toutes les filles s'appellent Sarah, vous n'avez pas d'information supplémentaire ^^

garsim a écrit:Au fait, je repensais un peu au problème de Lumineuse.
On a démontré qu'en fait, les différentes couleurs du jour ne pouvaient pas être équiprobables.
En revanche, supposons qu'on passe outre la mise en scène dans laquelle on voit Lumineuse mélanger les couleurs ; dans l'hypothèse où c'est Lumineuse elle-même qui décidait de la couleur du jour, puis en déduisait les deux couleurs nécessaires à son obtention, les issues seraient tout de même équiprobables non ?

Ben ça dépend comment elle choisit "au hasard" en fait, si elle le fait de manière uniforme oui ce sera équiprobable par définition ^^

Pixelax a écrit:

garsim a écrit:En revanche, je valide la réponse à la seconde question

Ben pas moi !

Ah, je me disais aussi, mais pourquoi il disait sur la ChatBox qu'il allait faire le calcul alors que c'était pourtant immédiat...

Pixelax a écrit:La réponse doit nécessairement dépendre que la probabilité p qu'une fille s'appelle Sarah. Comme elle est extrêmement faible, on trouve environ 1/2 en effet, mais pas exactement.
Un moyen de vérifier votre calcul : si vous prenez p = 1, vous êtes censés retrouver le 2/3 de la première question. En effet, si toutes les filles s'appellent Sarah, vous n'avez pas d'information supplémentaire ^^

En revanche, j'ai pas compris.
Pour reprendre le raisonnement de @rhyolite, pour le premier problème, on avait quatre scenarii possibles (dont un qu'on a écarté volontairement) : GG, GF, FG, FF.
Pour le second problème, si on fait "pareil", on aurait alors : GS, SG, FS, SF.
En fait, j'ai l'impression que le "cinquième" cas auquel on ne penserait pas, ce serait le cas "SS" (Sarah - Sarah)... mais bon, pourquoi il ne serait pas inclus dans les cas "FS" ou "SF", vu que la seconde Sarah serait une fille ?

(puis bon, en effet, je sais que pour le blague, c'est le seul prénom qui marche, mais quelle idée quand même d'appeler les deux enfants par le même prénom )

garsim a écrit:Pour reprendre le raisonnement de @rhyolite, pour le premier problème, on avait quatre scenarii possibles (dont un qu'on a écarté volontairement) : GG, GF, FG, FF.

Oui là c'est facile car vous avez exhibé 4 scenarii disjoints et équiprobables. Du coup il n'y a plus qu'à compter le nombre de cas favorables et le nombre de cas total avec les informations que l'on a ; on trouve en effet 2/3.

garsim a écrit:Pour le second problème, si on fait "pareil", on aurait alors : GS, SG, FS, SF.
En fait, j'ai l'impression que le "cinquième" cas auquel on ne penserait pas, ce serait le cas "SS" (Sarah - Sarah)... mais bon, pourquoi il ne serait pas inclus dans les cas "FS" ou "SF", vu que la seconde Sarah serait une fille ?

Non, c'est plus compliqué que ça.
On ne pourra pas se ramener à des scenarri équiprobables, il faudra pondérer par les bonnes probas dans le calcul.
Par contre, il faut systématiquement des scenarii disjoints, sinon on ne peut rien faire. Il faut oublier le "F" tout court, car il n'est pas assez précis. On aura plutôt un "FS" (Fille Sarah) et un "FNS" (Fille Non-Sarah). Du coup, il y a 3 issues possibles pour chaque enfant, donc 9 issues en tout.

Les plus simple est à mon avis de voir ça avec un tableau à double entrée, en mettant dans chaque case la proba qu'un tel scenario se produise. Par exemple, dans la case GG non non, je ne parle pas du Groupe Gagnant on mettra 1/4. Toutes les autres dépendront de p.
Un moyen de vérifier si vous ne vous êtes pas plantés est de faire la somme des 9 probas : ça doit faire 1 !

Ensuite, il suffit de sommer les probas des cas favorables (compatibles avec les infos que l'on a), celles de tous les cas possibles (là aussi compatibles), et de faire le quotient des deux.

Pour la question 1, on aurait eu un tableau 2x2 avec que des "1/4", on aurait trouvé (1/4 + 1/4)/(1/4 + 1/4 + 1/4) soit bien 2/3.



Ce n'est que des probas conditionnelles ici, auxquelles tu semblais si réticent il y a quelques mois @garsim ^^