Mathématiques boyardesques

Chris K. a écrit:Bah on va dire 68,4%

Ça c'est une bonne réponse !

En fait, si je n'ai pas accepté ta première réponse, c'est parce que l'arrondi était faux (même si tu as précisé "erreur d'arrondi près", c'est trop facile sinon ^^), si tu garde deux chiffres après la virgule, ça aurait fait 68,36 %.

En ce qui concerne la réponse, tout se passe comme dans le cas précédent, seul la proba d'un succès change. Le candidat a une chance sur deux de trouver le bon gobelet dans 9 cas sur 10, soit 9/20. On aboutit à 68,4 % par le même cheminement (loi binomiale).

Un point sur les scores : c'est tojours très serré !

Classement provisoire :

Problème 7 - Les Barreaux

Comme d'habitude, on suppose que le candidat répond totalement au hasard (trop perturbé par la Bohémienne pour suivre les palets des yeux certainement ^^).

a) Quelle est la probabilité que le candidat ne gagne aucun barreau ? (1 pt)

b) Quelle est la probabilité que le candidat gagne les 4 barreaux ? (2 pts)

Et comme d'habitude, j'attends pour chaque question une valeur soit exacte sous forme de fraction, soit arrondie (correctement ) sous forme de pourcentage, avec une décimale.

Pour le 7a), facile, 1/3.

Pour le 7b)... je dirais 1/15 (sauf s'il y a des probabilités conditionnelles, auquel cas je ne risque pas de trouver... )

hélium a écrit:Pour le 7a), facile, 1/3.

En effet, facile (mais ne vous inquiétez pas, très vite les questions vont devenir bien corsées ) : sur 6 palets 2 sont noirs, donc 2/6, soit 1/3. C'est donc une bonne réponse !

hélium a écrit:Pour le 7b)... je dirais 1/15 (sauf s'il y a des probabilités conditionnelles, auquel cas je ne risque pas de trouver... )

En fait, il y a des probas conditionnelles, mais elles sont directement traduites sur un arbre pondéré (ça revient à faire le produit des probas des branches). Faire un arbre est d'ailleurs la manière la plus intuitive (mais peut-être pas la plus efficace) de répondre à ce problème.
Et quand on en fait un on trouve 1/15, c'est également une bonne réponse !

Hélium se démarque en prenant quelques points d'avance :

Classement provisoire :

Une autre question dans le même problème :

c) En moyenne, combien de barreaux le candidat gagnera-t-il ? (3 pts)

Là encore, une valeur exacte, ou approchée avec une décimale si nécessaire.

Je propose 98/33

Chris K. a écrit:Je propose 98/33

Mauvaise réponse

Le plus simple est de déterminer la loi du nombre de barreaux obtenus, puis de calculer l'espérance en faisant une moyenne pondérée (comme pour les Fléchettes).

98/33 ça fait quasiment 3, c'est un peu beaucoup ...!

4/3 ?

4/3 ! ( trop tard, tant pis --' )

hélium a écrit:4/3 ?

Et oui, c'est une bonne réponse !

Notons X le nombre de barreaux obtenus. Comme je le disais, on peut déterminer la loi de X en faisant un arbre ; mais il y a plus simple, en l'occurrence en faisant un peu de dénombrement.

Il y a 2 parmi 6 issues possibles (ou 4 parmi 6, c'est la même chose ^^), càd 15. Si X=k, c'est que le premier palet noir a été découvert en position k+1. Les k premier sont des barreaux, le k+1ème est noir, il reste donc 5-k palets à ordonner, dont un seul noir. Il y a donc 1 parmi 5-k possibilités, càd 5-k.

Finalement, la loi de X est donc définie par P(X=k) = (5-k)/15. Ça justifie déjà les deux premières réponses.

Pour le nombre de barreaux moyen, il suffit de faire la moyenne pondérée :
E[X] = (0×5 + 1×4 + 2×3 + 3×2 + 4×1)/15 = 20/15 = 4/3 ≈ 1,3 barreaux.

Au niveau du classement provisoire, l'informaticien commence à prendre une sérieuse avance sur ses adversaires... mais il est encore largement possible de le rattraper (même en étant à 0 ^^)

Classement provisoire :

Vous vous en doutez peut-être, après ce problème sur les Barreaux, voici... :

Problème 8 - La presse à Boyards

On prend ici en compte les règles de 1996, avec un gain maximal de 2⁸ = 256 boyards.

a) En supposant que le candidat aille jusqu'au bout, quelle est la probabilité qu'il gagne les 256 boyards ? (2 pts)

b) Au bout de combien de boyards retournés doit-on s'arrêter pour maximiser son gain moyen ? Quel est alors ce gain moyen ? (4 pts)
En cas d'égalité, on choisira le nombre de coups minimisant la probabilité de perdre.

a) 1/9
b) 7

maximax a écrit:a) 1/9

Bonne réponse !
Si le candidat va jusqu'au bout, il va choisir 8 boyards parmi les 9, et donc en éliminer un. Il a une chance sur 9 d'éliminer le boyard blanc, c'est-à-dire une proba de 1/9.

maximax a écrit:b) 7

Désolé @maximax, je ne peux pas dire si ta réponse est bonne ou pas puisqu'elle ne répond qu'à une partie de la question. Je demandais aussi le gain moyen dans le cas de cette stratégie "optimale". C'est une question 2 en 1 oui, mais je demande le gain moyen pour ne pas que vous puissiez trouver en répondant au hasard simplement un nombre entre 1 et 8.
Je t'invite donc à compléter ta réponse

En attendant, tu marques quand même les deux points de la question a), et te rapproches d'hélium tout doucement...

Classement provisoire :

Ah oui, en effet Je complète alors
b) 7 et gain moyen : 28,44

maximax a écrit:b) 7 et gain moyen : 28,44

Voilà la bonne réponse !

Si le candidat s'arrête au bout de k essais, il a une proba de k/9 de perdre, et une proba de (9-k)/9 de gagner 2^k boyards. Le gain moyen est donc de 2^k(9-k)/9. Pour maximiser ça sans trop se prendre la tête, le plus simple est de regarder toutes les valeurs ^^

Dans un graphique ça fait joli (courbe bleue) :

Comme ma remarque ne le laissait pas du tout entendre, il y a égalité entre 7 et 8 essais. La courbe rouge correspond à la proba de perdre soit k/9. On préfèrera donc 7 essais. Le gain moyen est alors de 2⁷×2/9 = 256/9 ≈ 28,4

Au niveau du classement : ça y est, hélium s'est fait rattraper !

Classement provisoire :

Les derniers problèmes vont valoir pas mal de points... tout est encore possible.

Problème 9 - La cellule qui rétrécit

On se place ici dans le cadre 1993-2009 : 30 clés indiscernables, il faut trouver les 3 qui ouvrent le coffre. On suppose que le candidat est méthodique, il décroche toutes les clés, puis les essaye une à une dans chaque serrure.

a) Quelle est la probabilité que le candidat doive tester toutes les clés ? (1 pt)

b) Quelle est la probabilité que le candidat n'ait qu'à tester les 3 premières clés ? (2 pts)

Pour le coup, les valeurs exactes me semblent plus appropriées

a ) 1/109620
b ) 1/4060

Chris K. a écrit:a ) 1/109620

Wow, ça fait pas beaucoup quand même ! ^^ Désolé, c'est une mauvaise réponse.
Cette question ne vaut qu'un point, ne cherchez pas compliqué !

Chris K. a écrit:b ) 1/4060

En revanche, c'est une bonne réponse !
Comme d'habitude, plusieurs manières de trouver ce résultat. la plus intuitive est de raisonner ainsi : 3 chances sur 30 que la première clé soit bonne, 2/29 pour la deuxième, et 1/28 pour la troisième : on trouve donc 3/30×2/29×1/28 = 1/4060 ≈ 0,02 %. Autant dire que ça n'arrive pas souvent !

Au niveau des scores, Chris remonte tout doucement...

Classement provisoire :

a) 1/30, tout bêtement ?

J'ai fait une erreur de calcul, je propose donc aussi 1/4060