Mathématiques boyardesques

Vous le savez peut-être, nous sommes en plein milieu de la semaine des mathématiques. C'est l'occasion pour moi de lancer un petit jeu portant sur les maths à Fort Boyard !
J'ai préparé une dizaine de petits problèmes constitués chacun d'une ou deux questions ouvertes. Chaque question rapporte un certain nombre de points (en fonction de la difficulté, ce sera indiqué), et le premier à donner la bonne réponse remporte ces points, naturellement.
Je ne vous cache pas que la plupart des questions nécessitent un minimum de connaissances en maths, notamment en terme de dénombrement et de probabilités.

Je ne sais pas du tout si ce jeu trouvera son public, c'est plus un coup d'essai qu'autre chose.... Certaines questions que je vais vous poser (ou pas) me sont venues à l'esprit presque naturellement, mais je me voyais mal les poser dans un Quiz [presque] sans fin. Et je n'allais quand même pas les garder pour moi !
En tout cas, n'hésitez pas à poster vos remarques / critiques / suggestions.


Bien, sans plus attendre, le premier problème ! Un classique pour commencer.

Problème 1 - Les bâtonnets

Dans la version classique du duel des Bâtonnets, il y en a 20 au départ. Vous savez qu'il existe alors une stratégie gagnante pour le joueur qui commence (en l'occurrence le candidat).

Quelle propriété le nombre initial de bâtonnets doit-il vérifier pour que le candidat puisse l'emporter à coup sûr ? (1 pt)

Il doit être de 5 + 4n bâtonnets (wha, l'autre qui utilise une notation mathématique obscure pour avoir l'air intelligente )

4n + 1 DE bâtonnets (et pas 5 car c'est 4+1) plutôt

rhyolite a écrit:Il doit être de 5 + 4n bâtonnets (wha, l'autre qui utilise une notation mathématique obscure pour avoir l'air intelligente )

Bayadrien a écrit:4n + 1 DE bâtonnets (et pas 5 car c'est 4+1) plutôt

Non, mauvaises réponses
Relisez bien la question, on veut que ce soit le candidat (i.e. celui qui commence) qui gagne. En particulier, le nombre 20 doit vérifier la propriété recherchée.

Il y a plusieurs manières de formuler la réponse, mais si vous utilisez des variables, précisez bien ce que c'est (je me doute que n est un entier, mais peut-il être nul ? négatif ?).

Il faut laisser un bâtonnet + un multiple de 4 à son adversaire

Le nombre de bâtonnets initialement présent b doit vérifier la propriété : pour tout n appartenant à l'ensemble des entiers naturels, b != 1 + 4*n

... ?

Stroboyard a écrit:Il faut laisser un bâtonnet + un multiple de 4 à son adversaire

Oui, mais ce n'est pas toujours possible ; il faut une condition sur le nombre initial de bâtonnets. Il faut justement ne pas commencer avec "un bâtonnet + un multiple de 4".

hélium a écrit:Le nombre de bâtonnets initialement présent b doit vérifier la propriété : pour tout n appartenant à l'ensemble des entiers naturels, b != 1 + 4*n

Tout à fait, c'est une bonne réponse !
Au passage, je n'aime pas trop la notation != pour ≠, au début je croyais qu'il s'agissait d'une factorielle ^^

On pouvait également dire que b n'était pas égal à un multiple de 4 plus 1, que b-1 n'était pas divisible par 4, que b n'était pas congru à 1 modulo 4, etc.

Ça fait donc 1 point pour @hélium.

Passons tout de suite au problème 2 ! Je pense que vous vous en doutez, la difficulté ira crescendo.

Problème 2 - Le Code Couleurs

a) Combien de codes couleurs différents exite-t-il ? (1 pt)

Considérons maintenant une équipe pas très futée, qui décide de tester toutes les combinaisons possibles une par une. Pour simplifier, on suppose qu'il leur faut à chaque fois 5 secondes pour disposer les cubes et avoir la vérification (oui ils sont très rapides puisqu'il faut environ 4 secondes rien que pour la vérification, mais bon admettons ^^).

b) Combien de temps leur faudrait-il pour que la bonne réponse soit validée, dans le pire des cas ? On exprimera le résultat dans une unité de temps adaptée. (1 pt)


Lorsqu'il y a deux questions comme ici et que vous n'avez la réponse qu'à l'une des deux, vous pouvez bien sûr la poster

Pixelax a écrit:Au passage, je n'aime pas trop la notation != pour ≠, au début je croyais qu'il s'agissait d'une factorielle ^^

L'informaticien vs. le mathématicien...
Ok, j'étais un peu pressé de répondre, du coup je n'ai pas pris le temps de faire un copier/coller sur Word. J'y ferai gaffe la prochaine fois.

Au fait, c'était fait exprès le problème 2a) qui nécessitait une factorielle juste après ?
Vu qu'un code couleurs se compose de 9 cubes de couleurs différentes à placer sur des emplacements numérotés, ça revient donc à faire un tirage ordonné sans remise de 9 éléments ^^
Soit 9! codes couleurs différents, et comme une factorielle peut grimper très très vite, ça fait donc 362880 possibilités si je ne m'abuse.

Pour le problème 2b) en revanche, si ma réponse est bien validée, vu que ça va faire beaucoup, tu ne leur accordes pas un peu de sommeil ?
En tout cas je vais en prendre un peu moi ^^

HJ :

hélium a écrit:Vu qu'un code couleurs se compose de 9 cubes de couleurs différentes à placer sur des emplacements numérotés, ça revient donc à faire un tirage ordonné sans remise de 9 éléments ^^
Soit 9! codes couleurs différents, et comme une factorielle peut grimper très très vite, ça fait donc 362880 possibilités si je ne m'abuse.

Tu ne t'abuses, c'est une bonne réponse ! 1 point de plus pour toi.

hélium a écrit:Pour le problème 2b) en revanche, si ma réponse est bien validée, vu que ça va faire beaucoup, tu ne leur accordes pas un peu de sommeil ?

Bah... vu qu'ils sont plusieurs, ils peuvent se relayer, non ? ^^

Pixelax a écrit:Bah... vu qu'ils sont plusieurs, ils peuvent se relayer, non ? ^^

Y avait pas de dortoir en 2008.

De toute façon, ce problème 2b) ne se pose pas, vu que le temps imparti de cette séquence est très largement inférieur à 21 jours tout rond... autant dire que non seulement le plongeur n'aura m^mee pas le temps d'entrer dans la citerne, mais aussi que la prod aura le temps de tourner toutes les émissions restantes, françaises et étrangères, à côté.

hélium a écrit:Y avait pas de dortoir en 2008.

Ils ont le temps de faire des aller-retours jusque leur hôtel à côté de Fouras....

hélium a écrit:De toute façon, ce problème 2b) ne se pose pas, vu que le temps imparti de cette séquence est très largement inférieur à 21 jours tout rond... autant dire que non seulement le plongeur n'aura m^mee pas le temps d'entrer dans la citerne, mais aussi que la prod aura le temps de tourner toutes les émissions restantes, françaises et étrangères, à côté.

En effet, c'est encore une bonne réponse !

Ce qui est amusant, c'est qu'on peut obtenir le résultat sans calculatrice. Le temps en seconde est de :

9!×5 = 9×8×7×6×5×4×3×2×5
= (3×3)×8×7×6×5×4×3×2×5
= (6×5×2)×(5×4×3)×(8×3)×(7×3)
= 60×60×24×21

D'où 21 jours tout pile !
Ce n'est pas très évocateur de dire qu'il y a 362 880 possibilités, là on se rend un peu plus compte du temps que ça prendrait en pratique de tout tester... Autant dire que c'est infaisaible oui ^^

Hélium en est donc à 3 points en tout, mais il y a encore pas mal de points à prendre sur les prochaines questions.

On continue avec une épreuve que vous adorez tous :

Problème 3 - Le Plateau 215

On fait deux hypothèses, assez peu restrictives :
- Le candidat est courageux et n'abandonne pas.
- Le candidat n'y connaît rien en zoologie, et répond totalement au hasard.

a) Quelle est la probabilité que le candidat soit éliminé dès la deuxième question ? (1 pt)

b) Quelle est la probabilité que le candidat gagne la clé / l'indice ? (2 pts)

Je tente a) 1/2. Aucune idée pour b) par contre.

rhyolite a écrit:Je tente a) 1/2.

Non désolé, c'est une mauvaise réponse
Être éliminé à la deuxième question revient à avoir donné deux mauvaises réponses consécutives...

a) Je tente p(éliminé à la deuxième question)=0,25
b) p(réussi)=5/16

Je sais, je devrais pas jouer, mais la seconde question me plait xD

1 ) 1/4 ( ça a déjà été proposé --' )
2) J'ai l'impression que y a un piège, donc je propose 2/5