Mathématiques boyardesques

hélium a écrit:Pour le problème 5a), vu que je suis en train de m'embarquer dans des calculs un peu tarabiscotés, je vais tenter la solution naïve : 5*3 = 15...

Super10 a écrit:Pour la question a), j'aurais également tenté 15.
Donc pour la b), je tenterais à tout hasard 3,25.

maximax a écrit:Pour cette nouvelle question, je dirais :
1) 12,5
2) 2,45

Chris K. a écrit:5)a) 15 ( mais c'est trop tard... )
5)b) 7,5

Non, que des mauvaise réponses
La bonne réponse n'est pas non plus extrêmement évidente à trouver, il faut un minimum de calcul. La moyenne sur une flèche n'est pas de 3, on a bien plus de chance de faire 1 ou 2 que 4 ou 5.

@maximax, j'ai l'impression que ton raisonnement est bon, mais je crois que tu as supposé que le "5" était 4 fois plus large que les autres et non 2 fois, tu t'es compliqué la vie pour rien !

Pixelax a écrit:En d'autres termes, le rayon de la cible est divisé en 5 parties égales, chacune correspondant à un secteur.

Du coup la b) est fausse aussi. Mais tu es sur la très bonne voie (ou alors c'est une coïncidence, mais j'y crois pas trop ^^)

non, j'ai pas mis 4 fois la largeur pour le 5, mais je viens de me rendre compte de mon erreur.

Je réessaye :
a) 11,39
b) 2,24

maximax a écrit:non, j'ai pas mis 4 fois la largeur pour le 5, mais je viens de me rendre compte de mon erreur.

Ah ? Eh bien on trouverait exactement les résultats que tu as proposés pourtant !

maximax a écrit:Je réessaye :
a) 11,39
b) 2,24

Toujours pas, mauvaise réponse

Pour bien commencer : considérez que la cible a pour rayon 5, ça simplifiera les calculs.

Bien évidemment, il n'est pas complètement exclu que ce soit moi qui me soit planté dans le raisonnement et/ou dans le calcul. Vous pouvez tout à fait porter réclamation ici même en détaillant votre réponse, ou par MP si vous ne voulez pas que les autres voient ce que vous avez fait ^^

Pixelax a écrit:

maximax a écrit:non, j'ai pas mis 4 fois la largeur pour le 5, mais je viens de me rendre compte de mon erreur.

Ah ? Eh bien on trouverait exactement les résultats que tu as proposés pourtant !

Oui, parce qu'en fait, j'ai confondu rayon et diamètre à un moment, et mathématiquement parlant, ça revient au même que ce dont tu parlais

Et maintenant, je viens de me rendre compte de ma nouvelle erreur, je sais plus compter jusque 5

Je retente :
a) 11
b) 2,16

maximax a écrit:Et maintenant, je viens de me rendre compte de ma nouvelle erreur, je sais plus compter jusque 5

Ça promet pour la suite...

maximax a écrit:Je retente :
a) 11
b) 2,16

Cette fois le compte est bon ! Bonne réponse !

a) Déjà, le plus simple est de ne considérer qu'une fléchette dans un premier temps. Posons X le score obtenu ainsi. La probabilité que la fléchette tombe dans un secteur est proportionnelle à l'aire de ce secteur (loi uniforme).
Si on considère que le rayon de la cible est de 5, son aire est de 25π. Le deuxième disque est de rayon 4, donc son aire est de 16π. Du coup, l'aire du secteur "1" est de 9π. La proba de tomber dedans est donc de 9π/(25π) = 9/25.

En raisonnant ainsi, on peut déterminer complètement la loi de X :


Ce que l'on cherche est l'espérance de X : E[X] = Σ(k×P(X=k)) = (9×1+7×2+5×3+3×4+1×5)/25 = 11/5.

La réponse à la question est E[5X] = 5E[X] = 11.


b) Comme vous le savez sûrement, les matheux sont des fainéants : ils n'aiment pas refaire des calculs qu'ils viennent de faire. C'est le cas ici, on va se ramener au cas précédent.

Quand on analyse le problème, on se rend compte qu'il ne nous manque qu'une seule chose : la probabilité que la fléchette du candidat tombe dans la cible. Comme tout à l'heure, il s'agit d'un rapport d'aire. Le carré a un côté 4 fois plus important que le rayon du cercle, la probabilité recherchée est donc de π/4² = π/16.

Le score moyen du candidat sur une fléchette sera donc celui du Maître multiplié par π/16. De même sur 5 fléchettes.
La réponse est donc 11π/16 ≈ 2,16.


Là pour le coup, les hypothèses ne sont pas vraiment conformes à la réalité, mais c'était le moyen le plus simple de modéliser ce duel mathématiquement. On peut faire des suppositions plus réalistes, mais les calcul deviennent vite beaucoup plus lourds.

Si vous voulez plus d'explications sur tel ou tel point de la démonstation (ou que vous n'êtes pas d'accord), n'hésitez pas, j'essaye d'être concis


Maximax marque 4 points et prend seul la tête du classement :

Classement provisoire :

Mais rien n'est joué, rien que sur le prochain problème il y a au moins 5 points à prendre :

Problème 6 - Le Bonneteau

Le candidat adopte la méthode Christophe Beaugrand : pas besoin de regarder le magicien, de toute façon il répond au pif ^^
Pour simplifier, on va supposer qu'il peut faire au plus 7 tentatives durant le temps de la clepsydre (en fait ça varie beaucoup selon les émissions... Christophe Beaugrand justement n'en n'a fait que 4, alors que Stéphanie de Monaco en a fait le triple ! Vive le montage !).

a) Quelle est la probabilité que le candidat ne trouve aucune petite clé ? (2 pts)

b) Quelle est la probabilité que le candidat gagne la clé ? (3 pts)

Pour le 6a), je suppose qu'on peut faire un petit coup de Bernoulli et qu'on devrait arriver à une probabilité que le candidat ne trouve aucune petite clé de 0,058 ?

Le 6b), en revanche, le temps de faire l'arbre...

Purée, éclair d'Eugénie (et désolé pour le double-post, ça m'est revenu juste après avoir posté la réponse précédente...   ).

Le 6b), ce ne serait pas quelque chose du genre 1 - (2/3)⁷ - (7/3)*(2/3)⁶  - (7/3)*(2/3)⁵ , qu'on pourrait arrondir en 0,43 ?

Pixelax a écrit:Pour cette question (et pour les suivantes, quand il s'agira de probabilités), vous pouvez donner la valeur exacte et/ou une valeur approchée, exprimée en pourcentage avec une décimale (par exemple 14,3% pour 1/7).

Je t'invite à reformuler tes réponses (y compris la première, attention aux arrondis)

L'informaticien vs. le mathématicien, 2^e round ?

Bon, dans ce cas :
6a) : P = 5,8 %
6b) : P = 42,9 %

... ?

hélium a écrit:L'informaticien vs. le mathématicien, 2e round ?

Je ne comptais pas en rester là quand même

hélium a écrit:6a) : P = 5,8 %
6b) : P = 42,9 %

Désolé de t'embêter avec ça, mais je ne peux pas accepter ta réponse a) : mauvaise réponse

En revanche pour la b) : c'est une bonne réponse !

a) La probabilité de ne pas trouver une clé lors d'un essai fixé est de 2/3. Comme les 7 sont indépendants, la probabilité de n'en trouver aucune est de (2/3)⁷ soit environ 5,9 % si l'on arrondit (5,8 % est une troncature).

b) Pas besoin de se prendre la tête avec un arbre (sinon prenez une grande feuille ) ! Le plus simple est d'utiliser la loi binomiale (ce qu'on aurait déjà pu faire pour le Plateau 215, même si on pouvait s'en sortir autrement). Si on note X le nombre de petites clés obtenues, X suit une loi binomiale de paramètres 7 (car 7 essais indépendants) et 1/3 (proba de succès).

Comme son nom l'indique, la loi binomiale utilise les coefficients binomiaux... et c'est là que l'éditeur du forum commence à montrer ses limites. ^^
La loi de X est définie par :

Ce que nous recherchons est donc :

Et si l'on calcule tout ça avec une machine, on trouve 313/729 ≈ 42,9 %.
Là encore, la proba de gagner en répondant au hasard est relativement élevée : qui l'eût cru ? ^^

On pouvait également passer par l'événement contraire comme tu l'as fait, @hélium. En fait, au début je croyais que la forme que tu avais donnée était fausse.... mais en fait non puisque tu avais déjà fait une simplification :


Petit point rapide sur les scores, maximax s'est fait rattrapé !

Classement provisoire :

Il reste donc encore deux points à prendre avec la question a)

Pixelax a écrit:Il reste donc encore deux points à prendre avec la question a)

Euh... mais tu ne viens pas de donner la réponse en rebondissant sur mon erreur d'arrondi ?
Dans ce cas, je réponds 5,9% si ça peut te faire plaisir...

Pixelax a écrit:

hélium a écrit:L'informaticien vs. le mathématicien, 2e round ?

Je ne comptais pas en rester là quand même [...]
Comme son nom l'indique, la loi binomiale utilise les coefficients binomiaux... et c'est là que l'éditeur du forum commence à montrer ses limites. ^^

Et encore, j'ai failli écrire POW((2/3), 7) avant que je me souvienne qu'il y avait une balise BBCode pour mettre en exposant...

Ah, on dirait je me suis fait avoir !

Comme vous l'avez vu, j'ai laissé la correction de la question a), qui est donc annulée du coup. Tout ça pour une petite décimale, dommage


Une autre question à la place :

Une stratégie souvent adoptée au Bonneteau est d'éliminer d'office le gobelet le plus évident, là où devrait se trouver la petite clé s'il n'y avait pas de manipulations. On suppose que dans 90% des cas, la clé ne se trouve pas sous ce gobelet (le magicien bluffe donc 1 fois sur 10).

c) Quelle est la probabilité de gagner la clé en adoptant cette stratégie ? (2 pts)

On suppose toujours que le candidat peut faire au plus 7 essais, au hasard parmi deux gobelets à chaque manche (si le magicien bluffe, il n'a aucune chance de trouver la clé ce coup là).

hélium a écrit:Et encore, j'ai failli écrire POW((2/3), 7) avant que je me souvienne qu'il y avait une balise BBCode pour mettre en exposant...

Rhoo, un chapeau ^ c'est tellement mieux sinon !
Et POW ça me fait trop penser à ça ^^

Je propose 68,35% ( erreur d'arrondi près )

Chris K. a écrit:Je propose 68,35% ( erreur d'arrondi près )

Désolé @Chris K., je viens d'embêter @hélium à ce sujet, tu comprendras que, par souci d'équité, je ne peux pas accepter ta réponse... Surtout que le chiffre arrondi est un 5, donc il y a une réelle ambiguïté sur "comment arrondir le 3 ?".

Je t'invite donc à reformuler ta proposition, en arrondissant le pourcentage obtenu avec un (pas deux, pas zéro ^^) chiffre après la virgule (même si c'est un zéro, marquez ",0" pour indiquer que c'est un chiffre significatif)

Bah on va dire 68,4%

Chris K. a écrit:Bah on va dire 68,4%

Ça c'est une bonne réponse !

En fait, si je n'ai pas accepté ta première réponse, c'est parce que l'arrondi était faux (même si tu as précisé "erreur d'arrondi près", c'est trop facile sinon ^^), si tu garde deux chiffres après la virgule, ça aurait fait 68,36 %.

En ce qui concerne la réponse, tout se passe comme dans le cas précédent, seul la proba d'un succès change. Le candidat a une chance sur deux de trouver le bon gobelet dans 9 cas sur 10, soit 9/20. On aboutit à 68,4 % par le même cheminement (loi binomiale).

Un point sur les scores : c'est tojours très serré !

Classement provisoire :

Problème 7 - Les Barreaux

Comme d'habitude, on suppose que le candidat répond totalement au hasard (trop perturbé par la Bohémienne pour suivre les palets des yeux certainement ^^).

a) Quelle est la probabilité que le candidat ne gagne aucun barreau ? (1 pt)

b) Quelle est la probabilité que le candidat gagne les 4 barreaux ? (2 pts)

Et comme d'habitude, j'attends pour chaque question une valeur soit exacte sous forme de fraction, soit arrondie (correctement ) sous forme de pourcentage, avec une décimale.