Mathématiques boyardesques

Je ne sais pas trop comment vous aider davantage... Le mieux est vraiment de reprendre la même méthode que je vous ai montrée pour la proba d'une paire avec 3 dés : en faisant des arbres "intelligents", c'est-à-dire en regroupant les cas similaires et en éliminant les cas défavorables, de manière à diminuer considérablement le nombre de branches. C'est que de la logique ^^
Sur les 6 probas qu'il reste à trouver, le plus petit arbre n'a qu'une seule branche (si si !), et le plus grand en à 15 (ce qui reste gérable, surtout qu'il y a des groupes de branches qui se ressemblent fortement).

Je complèterai ce tableau au fur et à mesure :


Comme je l'ai dit, j'attends seulement les valeurs exactes, pas nécessairement simplifiées (de la forme truc/6⁴, truc correspond à la deuxième colonne du tableau). Dans la troisième colonne, j'ajouterai la valeur approchée à 0,1% près, histoire d'avoir une idée de ce que ça représente.


Je donnerai les réponses manquantes (s'il y en a ^^) au plus tard jeudi prochain, ce qui mettra fin au jeu.

Pixelax a écrit:Sur les 6 probas qu'il reste à trouver, le plus petit arbre n'a qu'une seule branche (si si !)

A tout hasard, ce n'est pas la paire ? Du coup, on aurait une proba de 1/6 pour celle-ci ?

(au fait, est-ce que, pour la paire, tu demandes la proba qu'il y en ait au moins une, admettant donc les cas AAABC, AAAAB, AABBC, etc. ou est-ce qu'on ne prend en compte que des cas genre AABCD ?)

Au fait, je n'interviens malheureusement pas beaucoup en ce moment à cause de ma vie réelle qui m'a un peu rattrapé ^^' (déménagement et changement de boulot entre autres) du coup je n'ai pas pris beaucoup de temps à réfléchir aux problèmes, désolé

Désolé pour le double-post, pour la suite je propose 2/6⁴

Pour le full, j'ai bien fait un arbre, mais pour le calcul qui va avec, euh...



On est d'accord que c'est bien ça ?

hélium a écrit:

Pixelax a écrit:Sur les 6 probas qu'il reste à trouver, le plus petit arbre n'a qu'une seule branche (si si !)

A tout hasard, ce n'est pas la paire ? Du coup, on aurait une proba de 1/6 pour celle-ci ?

hélium a écrit:pour la suite je propose 2/6⁴

Non, mauvaises réponses (et ce n'est pas la paire qui ne demande qu'une branche non)

hélium a écrit:(au fait, est-ce que, pour la paire, tu demandes la proba qu'il y en ait au moins une, admettant donc les cas AAABC, AAAAB, AABBC, etc. ou est-ce qu'on ne prend en compte que des cas genre AABCD ?)

Réponse :

Pixelax a écrit:Pour simplifier, on va supposer que [...] si plusieurs combinaisons sont vérifiées en même temps, seule la plus forte compte. Par exemple, AABCA n'est pas une paire, mais un brelan (on croirait que ça rend les choses plus difficiles, mais c'est tout le contraire, c'est bien plus facile comme ça ^^).

Il faut qu'il n'y ait qu'une seule paire, ça peut donc être AABCD, ou ABCDB, ou ABACD, etc. Chaque possibilité correspond à une branche de votre arbre normalement. Par "branche" j'entends un chemin qui va du départ à une extrémité, c'est-à-dire qu'il y a autant de branches que d'extrémités.

hélium a écrit:Pour le full, j'ai bien fait un arbre, mais pour le calcul qui va avec, euh...



On est d'accord que c'est bien ça ?

Wow, je ne crois pas que ce soit ça non. Il me semble qu'il y a un problème de parenthésage aussi... Mais il y a moyen de s'en sortir sans écrire le résultat brut sous cette forme.

Chaque branche est en 4 parties. Sur chaque partie de la branche se trouve un coefficient de la forme n/6, avec n un entier entre 1 et 5. La proba d'une branche est donc le produit de ces 4 coefficients, et sera de la forme truc/6⁴. Inutile de vous encombrer avec les "/6" dans tous les sens, ce qui importe c'est le numérateur. Au bout de chaque branche, inscrivez le produit des 4 entiers aux numérateurs des coefficients, et faites enfin la somme de tous les nombres obtenus pour avoir truc. Pour le full il y a 10 branches en tout, donc une somme de 10 termes.

Pour le cinq/cinq, il n'y a qu'une seule branche à l'arbre (et ce n'est pas la seule combinaison) :

A---AA---AAA---AAAA----AAAAA, avec sur chaque segment 1/6, on n'écrit donc que 1 à chaque fois. 1×1×1×1=1, d'où 1/6⁴. C'est le cas le plus simple évidemment ^^

Pour faire simple, le coefficient sur un segment de branche est 1/6 si on ajoute une lettre qui est déjà sortie (par exemple AB---ABA ou AB---ABB), ou le nombre de lettres non sorties /6 si on en ajoute une nouvelle (par exemple AB---ABC avec une proba de 4/6 - il y a 4 choix possibles pour C comme 2 lettres sont déjà prises. En gros, quand on ajoute pour la première fois B c'est 5/6, C c'est 4/6, D 3/6 et E 2/6).

Pixelax a écrit:Wow, je ne crois pas que ce soit ça non. Il me semble qu'il y a un problème de parenthésage aussi...

Ouais bon, j'ai pas vraiment vérifié si le parenthésage était exact (j'ai essayé de le faire mais ça devient vite fait un énorme micmac...), c'était plutôt pour avoir ta réaction.
Ce qui me rassure néanmoins, c'est que je suis bien arrivé à 10 branches pour le full... donc je propose 38/6⁴.


Sinon, pour la suite, c'est sans doute celle-ci qui s'écrit en une seule branche finalement. En revanche, je m'étais complètement planté dans mes coefficients. En outre, j'ai l'impression que pour celle-là, c'était finalement beaucoup plus simple que je ne le pensais, vu que le résultat est une "bête" factorielle...
Donc, pour la suite, je propose 120/6⁴

hélium a écrit:Ouais bon, j'ai pas vraiment vérifié si le parenthésage était exact (j'ai essayé de le faire mais ça devient vite fait un énorme micmac...), c'était plutôt pour avoir ta réaction.

Et ça te fait rire ! J'ai passé plus de temps à vérifier ton calcul qu'à refaire l'arbre sur un bout de papier !
Le problème est que si on développe tout brutalement on obtient une expression similaire, autant dire imbitable. Du coup, j'ai dû regarder un minimum en détail, avant de me rendre compte que l'expression était vraiment bancale. Surtout avec des tas de parenthèses inutiles, on dirait que c'est plus fait pour embrouiller qu'autre chose ^^

hélium a écrit:Ce qui me rassure néanmoins, c'est que je suis bien arrivé à 10 branches pour le full... donc je propose 38/6⁴.

C'est dommage alors, puisque c'est une mauvaise réponse Tu as dû te planter dans des coefficients.

hélium a écrit:pour la suite, je propose 120/6⁴

Bonne réponse !

En effet, on voit assez facilement le dénombrement surgir, et on peut facilement généraliser le résultat avec davantage de dés avec davantage de faces, avec des arrangements.
5 possibilités pour le deuxième dé, 4 pour le troisième, 3 pour le quatrième et 2 pour le dernier, ça en fait bien 120 en tout.

Classement provisoire :

Pixelax a écrit:

hélium a écrit:Ouais bon, j'ai pas vraiment vérifié si le parenthésage était exact (j'ai essayé de le faire mais ça devient vite fait un énorme micmac...), c'était plutôt pour avoir ta réaction.

Et ça te fait rire ! J'ai passé plus de temps à vérifier ton calcul qu'à refaire l'arbre sur un bout de papier !

J'aurais bien scanné mon arbre, mais mon scanner a déménagé et moi pas encore...
(bonne idée de ne prendre en compte que les numérateurs au passage)

Pixelax a écrit:C'est dommage alors, puisque c'est une mauvaise réponse Tu as dû te planter dans des coefficients.]

J'TE CROIS PAS !  (PS : any resemblance to actual persons is purely coincidental.)

... euh, en fait, si, je te crois, je viens de trouver mon coefficient incorrect.
Donc je rerereprends : pour le full, c'est 50/6⁴ ?

Et pour le carré : 26/6⁴ ?

hélium a écrit:Donc je rerereprends : pour le full, c'est 50/6⁴ ?

Oui ! bonne réponse !
Chaque branche a une proba de 5/6⁴, comme il y en a 10 on obtient 50/6⁴.

hélium a écrit:Et pour le carré : 26/6⁴ ?

Quand même, je ne suis pas vache au point de refuser une bonne réponse juste parce que vous avez simplifié la fraction ^^

Pixelax a écrit:

hélium a écrit:Donc je reprends : b) Pour le carré : 13/648 ?

Presque... mais pas, mauvaise réponse

Pixelax a écrit:Pour simplifier, on va supposer que l'on n'effectue qu'un seul lancer de dés, et que si plusieurs combinaisons sont vérifiées en même temps, seule la plus forte compte. Par exemple, AABCA n'est pas une paire, mais un brelan (on croirait que ça rend les choses plus difficiles, mais c'est tout le contraire, c'est bien plus facile comme ça ^^)

En fait, quand je disais que ça simplifiait les calculs, c'est surtout pour la méthode de dénombrement. Pour les arbres, ça ne change pas grand chose, il suffit de bien faire attention (comme dans le cas d'une paire avec 3 dés, lorsqu'on avait AA, je n'ai prolongé la branche que par AAB, et pas par AAA).

Déjà là vous remarquerez c'est mal barré pour être décroissant ^^

Classement provisoire :

Pixelax a écrit:

hélium a écrit:Et pour le carré : 26/6⁴ ?

Quand même, je ne suis pas vache au point de refuser une bonne réponse juste parce que vous avez simplifié la fraction ^^

Euh, non, excuse, c'est moi, je ne me souvenais même plus que j'avais déjà fait une proposition... alors j'ai refait un arbre, mais avec exactement les mêmes coefficients, (et donc la même erreur de pas avoir éliminé le 5/5...) donc forcément ça pouvait pas passer.
J'ai vraiment besoin de vacances...

Donc je rereprends : Carré : 25/6⁴.

Et tant que j'y suis : Paire : 600/6⁴.

As usual, désolé pour le double-post faute de pouvoir éditer...

Tant qu'à faire, pour le brelan j'ai 200/6⁴ et pour la double paire (c'était celle-là avec les fameuses quinze branches ! Au passage, merci de l'avoir précisé car il m'en aurait manqué une sinon...) 300/6⁴.

Et pour la question c), ça donnerait donc, de la plus probable à la moins probable :

• Paire
  
• Double paire
  
• Brelan
  
• Suite
  
• Full
  
• Carré
  
• Cinq/cinq

En fait, je viens de me rendre compte d'un truc tout bête pour les coefficients au sujet desquels je n'ai pas arrêté de me tromper : comme on a des issues équiprobables, il y avait juste besoin de calculer ceux pour une branche, et de multiplier par le nombre de branches...

hélium a écrit:Donc je rereprends : Carré : 25/6⁴.

Et tant que j'y suis : Paire : 600/6⁴.

hélium a écrit:Tant qu'à faire, pour le brelan j'ai 200/6⁴ et pour la double paire (c'était celle-là avec les fameuses quinze branches ! Au passage, merci de l'avoir précisé car il m'en aurait manqué une sinon...) 300/6⁴.

Bonnes réponses ! 4 à la suite !

Le tableau est donc complété :


En fait, comme tous ces événements sont disjoints est qu'on est forcément dans l'un d'eux (d'après la question a), la somme de leurs probas fait 1, donc il n'était pas nécessaire de calculer le dernier ^^

hélium a écrit:En fait, je viens de me rendre compte d'un truc tout bête pour les coefficients au sujet desquels je n'ai pas arrêté de me tromper : comme on a des issues équiprobables, il y avait juste besoin de calculer ceux pour une branche, et de multiplier par le nombre de branches...

Il se trouve que oui, mais ça marche aussi bien parce qu'on a justement écarté les cas qui correspondaient à une autre combinaison plus forte. De toute façon, c'est très lié avec le dénombrement, donc c'est normal qu'on retombe sur un "simple" produit à la fin

Voilà ce que ça aurait donné pour la double paire par exemple (cas le plus difficile). On oublie complètement les arbres et les histoires d'étiquetage des faces selon leur ordre de sortie. Il y a donc a priori 6⁵ issues possibles.
Pour le nombre d'issues favorables, il y a 6 possibilités de symboles pour la première paire, 5 pour la deuxième et 4 pour le cinquième dé. Pour l'ordre des dés, on a possibilités pour la première paire, et possibilités pour la deuxième (trois emplacements restants), et il n'y a plus de choix pour le cinquième dé. Mais attention, on a compté chaque cas deux fois (2! fois en fait) puisqu'en permutant les deux paires la combinaison reste inchangée. On divise donc tout ça par deux.
La proba d'avoir une double paire est finalement de :


Et on retrouve bien 300/6⁴.

hélium a écrit:Et pour la question c), ça donnerait donc, de la plus probable à la moins probable :

• Paire
  
• Double paire
  
• Brelan
  
• Suite
  
• Full
  
• Carré
  
• Cinq/cinq

Du coup oui, bonne réponse également ! C'était donc la suite qui était mal placée.


Voilà, le jeu est maintenant terminé, il est temps de découvrir qui a gagné !


*faux suspense*

Classement définitif

1er - hélium avec 35 pts
2ème - maximax avec 14 pts
3ème - Chris K. avec 6 pts
4ème - Super10 avec 3 pts


Félicitations à vous tous pour avoir joué le jeu, et évidemment à @hélium pour sa victoire ! Merci à lui pour avoir bien fait vivre ce jeu (notamment vers la fin où c'était un véritable ping-pong ^^)


Si vous avez des remarques / critiques / suggestions, c'est le moment !

Ouais chuis trop fort, c'est moi le meilleur. qui s'est quand même un peu bêtement vautré sur certaines questions genre le 4096 ou la proposition redite parce que j'avais oublié que je l'avais déjà proposée... Bon, ben c'est cool ^^ bravo aux autres également.

Concernant le jeu, ben déjà merci de l'avoir organisé
Ensuite, effectivement, à part peut-être la première question, c'est vrai que ça aurait été peut-être un peu difficile de les caser dans un quiz sans fin, donc je pense que tu as bien fait d'en faire un jeu à part entière.
Bon, comme je disais, peut-être un peu trop de probas et de dénombrement (pas vraiment ma tasse de thé en principe),à tel point que la question 1 faisait presque hors-sujet à côté ; mais comme tu le disais, trouver d'autres questions en lien avec Fort Boyard et les mathématiques et qui soient pas trop capillotractées aurait été plutôt difficile (je suis même surpris que tu en aies trouvé autant). Perso, tout ce que je voyais d'autre comme sujets pas encore traités en dehors des probas, c'était un calcul de parabole pour la Bascule Magyare (peut-être un peu tordu. et plus en relation avec la physique... on aura droit à un jeu "Physique boyardesque" ? ^^) ou peut-être une piste à explorer avec le duel des Formes géométriques (calcul d'aires et de longueurs) ou du Train (calcul de vitesse et conditions pour qu'elle tombe dans un wagon).

Cependant, même si c'était plutôt orienté probabilités, les problèmes étaient quand même variés, abordant plusieurs lois de probabilité et différentes méthodes de réflexion pour les résoudre. J'aurai même appris quelque chose avec les coefficients multinomiaux.
S'il y a des étudiants qui doivent passer un examen de probabilités par ici, ça leur ferait des excellents exercices.

Bref, c'était plutôt ludique.

Bravo pour la gestion de ce jeu Pixelax

Dommage que les maths ne soient pas ma tasse de thé, sinon j'aurais joué avec plaisir ^^

Je t'attribue tes Boyards Virtuels, je clôturerai ton jeu plus tard